[Gilbert Strang] Rank and Nullity

rank는 정보가 실제로 전달되는 방향의 개수
nullity는 아무 정보도 안 주는 방향의 개수

$A$ 는 $3 \times 4$ 행렬에 $x \in \mathbb{R}^4$ 일 때 다음 식을 보자.

4차원 공간의 벡터를 받아서 3차원으로 보낸다.

rank란?

pivot의 개수이고, 서로 독립적인 열의 개수를 의미한다.

여기서 1행 1열, 3행 2열이 pivot이기에
pivot는 2개이고,
rank = 2이다.

이것의 의미는 이 행렬을 아무리 잘 짜도 최대 2차원짜리 정보만 return할 수 있다는 것이다.

nullity란?

$Ax = 0$ 을 만족하는 자유도의 개수를 의미한다.
직관적으로 말하면, 입력했는데 결과가 전부 $0$ 이 되어버리는 방향의 개수를 의미한다.

예를 들어,
$x \neq 0$ 인데 $Ax = 0$ 이런 $x$ 들의 공간이 null space
그 공간의 차원이 nullity 이다.

일반해는 왜 null space의 basis가 될까?

여기서 $Ax = 0$ 을 만족하는 모든 해는 위 두 벡터의 linear combination으로 표현이 가능하다.

• 두 벡터가 null space의 basis
• basis 개수 = 2
• nullity = 2

때문에 다음이 성립된다.

예를 들어, 카메라를 생각해보자.
$x$ 는 4차원 물체이고,
$A$ 는 카메라이고,
사진은 $Ax$ 은 2차원이다.

여기서 보여지는 방향 2개이고,
보이지 않는 방향은 2개이다.