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[Convex Optimization] Quasiconvex function

math > convex-optimization

2026-03-231 min read

#convexity #operations #convex-optimization

reference

함수 ff 가 quasiconvex를 알아보자.

convex 정의

f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)f(\theta x + (1-\theta)y) \leq \theta f(x) + (1-\theta)f(y)

quasiconvex 정의

quasiconvex

f(θx+(1−θ)y)≤max⁡(f(x),f(y)),0≤θ≤1f(\theta x + (1-\theta)y) \leq \max(f(x), f(y)),\quad 0\leq\theta\leq 1

convex와는 달리 두 점 x,yx, y 로 이어진 직선보다 큰 값이 없으면 quasiconvex 하다.

First-order conditions

f:Rn→Rf:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} 가 미분 가능 함수라고 하자.
domf\text{dom}f 가 convex 이고, 다음 조건을 만족하면 ff 는 quasiconvex 이다.

f is quasiconvex⟺f(y)⪯f(x),∇f(x)T(y−x)≤0, for all x,y∈domff\ \text{is quasiconvex} \Longleftrightarrow f(y) \preceq f(x), \nabla f(x)^T(y-x) \leq 0,\ \text{for all}\ x,y \in\text{dom}f

fig1

Second-order conditions

ff 가 두번 미분 가능할 때, Second-order conditions가 적용된다.
만약 ff 가 quasiconvex 이면, ∀x∈domf\forall x\in\text{dom}f 그리고 ∀y∈Rn\forall y\in\mathbb{R}^n 에 대하여 다음 식이 성립한다.