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[Convex Optimization] Convex

math > convex-optimization

2026-03-141 min read

#convexity #operations #convex-optimization

Key properties of convex functions

Epigraph characterization

ff 가 convex 이면 epigraph는 convex set이고, 그 역도 성립한다.

f is convex⟺epi(f)={(x,y)∈Rn+1∣x∈domf,f(x)≤t} is a convex setf\ \text{is convex} \Longleftrightarrow \text{epi}(f) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x \in \text{dom} f, f(x) \leq t\}\ \text{is a convex set}

Convex sublevel sets

함수 ff 가 convex이면 그 sublevel set도 convex이다.

{x∈domf:f(x)≤t, for all t∈R}\{x \in \text{dom}f: f(x) \leq t\text{, for all}\ t\in \mathbb{R}\}

[참고] Sublevel set

함수의 f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} 에 대한 Cα={x∈domf∣f(x)≤α}C_\alpha = \{x\in \text{dom}f \mid f(x) \leq \alpha\} 를 α\alpha -sublevel set 이라 한다.

First-order characterization

함수 ff 가 미분가능하다고 가정하면 다음이 성립한다.
함수 ff 의 도메인 domf\text{dom} f 가 convex 이고, 함수 ff 의 도메인에 속하는 임의의 x,yx,y 에 대하여 f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x) for all x,y∈domff(y) \geq f(x) + \nabla f(x)^T(y-x)\ \text{for all}\ x,y \in \text{dom}f

아래 그림은 미분 가능한 convex function ff 에 관한 1차 테일러 다항식의 그래프이다.