← Back to Blog

Line, Line segment, Ray

math > convex-optimization

2026-01-212 min read

#line-segment-ray #geometry #convex-optimization

직선(line), 선분(line segment), 반직선(ray)를 살펴보자.

Line은 두 점을 지나면서 양쪽 방향으로 무한히 커지는 선이다.
반면, line segment는 두 점 사이에서만 정의되는 선이다.
ray는 한 점에서 시작해서 다른 점을 지나면서 무한히 커지는 선을 말한다.

Line Segment

Line

두 점 x1x_1 과 x2x_2 을 지나는 Line은 다음과 같이 정의된다.

y=θx1+(1−θ)x2withθ∈Ry = \theta x_1 + (1 - \theta) x_2 \quad \text{with} \quad \theta \in \mathbb{R}

여기서 θ\theta 는 임의의 실수이며
θ\theta 가 00 이면 yy 는 x2x_2 가 되고,
θ\theta 가 11 이면 yy 는 x1x_1 이 된다. θ\theta 가 00 보다 작거나 11 보다 크면 x2x2 에서 x1x_1 범위를 벗어난다.

Line segment

Line 식에서 θ\theta 의 범위를 00 에서 11 로 제한하면 line segment이다.
따라서 line segment는 Line 식에 0≤θ≤10 \leq \theta \leq 1 조건 추가해 정의할 수 있다.

y=θx1+(1−θ)x2with0≤θ≤1y = \theta x_1 + (1 - \theta) x_2 \quad \text{with} \quad 0 \leq \theta \leq 1

위 식을 변형하면 다음과 같이 표현 가능하다.

y=x2+θ(x1−x2)with0≤θ≤1y = x_2 + \theta(x_1 - x_2) \quad \text{with} \quad 0 \leq \theta \leq 1

Ray

Ray는 한 점에서 시작해 다른 점을 지나면서 무한히 커지는 직선이다.
점 x2x_2 에서 출발해서 (x1−x2)(x_1 - x_2) 벡터 방향으로 θ\theta 배로 무한히 진행한다.

y=x2+θ(x1−x2)withθ≥0y = x_2 + \theta(x_1 - x_2) \quad \text{with} \quad \theta \geq 0

이 식을 정리하면 다음과 같다.

y=θx1+(1−θ)x2withθ≥0y = \theta x_1 + (1 - \theta) x_2 \quad \text{with} \quad \theta \geq 0