← Back to Blog

Affine set

math > convex-optimization

2026-01-213 min read

#affine-set #geometry #convex-optimization

Affine set은 점(point), 직선(line), 평면(plane), 초평면(hyperplane)과 같이 선형적 특성이 있으면서 경계 없는 집합을 말한다.
어떤 집합이 affine set이라 말할 수 있으려면 집합에 속한 임의의 두 점으로 직선을 만들어 그 직선이 집합에 포함되는지 보면 된다.
즉, 어떤 공간이 경계가 있다면 affine set이 될 수 없다.

Affine set

집합 C⊆RnC \subseteq \mathbb{R}^n 에 속한 두 점 x1,x2∈Cx_1, x_2 \in C 을 지나는 직선을 만들었을 때, 이 직선이 CC 에 포함되면 이 집합을 affine set이라 한다.

θx1+(1−θ)x2∈Cwithθ∈R\theta x_1 + (1 - \theta) x_2 \in C \quad \text{with} \quad \theta \in \mathbb{R}

set CC 에 속한 두 점을 linear combination 하되 계수의 합을 11 로 제한했다고 해석 가능하다.

Affine combination

여러 점들을 linear combination할 때 계수의 합을 11로 제한하게 되면 이를 affine combination이라 한다.

θ1x1+θ2x2+⋯+θkxk∈Cwithθ1+θ2+⋯+θk=1\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \dots + \theta_k x_k \in C \quad \text{with} \quad \theta_1 + \theta_2 + \dots + \theta_k = 1

affine set 정의를 affine combination 개념을 이용해 일반화 가능하다.
즉, 어떤 집합에 속하는 점들을 affine combination 했을 때, 그 결과가 다시 그 집합에 속하면 affine set이라 말할 수 있다.

Affine hull

Convex hull image

C⊆RnC \subseteq \mathbb{R}^n 에 포함된 점들의 모든 affine combination의 집합을 CC의 affine hull이라 하며 aff CC 로 표기한다.
Affine hull aff CC 은 항상 affine set이며, 집합 CC 를 포함하는 가장 작은 affine set이다.

aff(C)={θ1x1+⋯+θkxk∣x1,…,xk∈C,θ1+⋯+θk=1}\text{aff}(C) = \{\theta_1 x_1 + \dots + \theta_k x_k \quad | \quad x_1, \dots, x_k \in C, \theta_1 + \dots + \theta_k = 1 \}

Affine set과 subspace 관계

Affine set CC 가 있을 때 x0∈Cx_0 \in C 라면 set V=C−x0V = C - x_0 는 subspace 이다.

V=C−x0={x−x0 ∣ x∈C}V = C - x_0 = \{x - x_0 \ | \ x \in C\}

"Affine set CC 은 linear subspace VV 를 x0x_0 만큼 translation한 것이다" 라 할 수 있으며, x0x_0 는 집합 CC 에서 임의로 선택 가능하다.
CC 의 차원은 VV 의 차원과 같다. (C,V⊆RnC, V \subseteq \mathbb{R}^n)

C=V+x0={v+x0 ∣ v∈V}C = V + x_0 = \{v + x_0 \ | \ v \in V\}

[증명] VV 가 subspace임을 증명

VV 가 subspace임을 증명하려면 sum과 scalar multiplication에 닫혀있다는 것을 보이면 된다.
즉, v1,v2∈V, α,β∈Rv_1, v_2 \in V, \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} 에 속한다는 것을 보이는 것이다. 이는 V=C−x0V = C - x_0 에 의해 αv1+βv2∈V\alpha v_1 + \beta v_2 \in V 가 되므로 결국 VV 가 subspace임을 의미한다.
먼저, v1,v2∈Vv_1, v_2 \in V 이므로 v1+x0∈Cv_1 + x_0 \in C 이고 v2+x0∈Cv_2 + x_0 \in C 이다. CC 는 affine set이므로, affine set의 정의에 의해 다음이 성립한다.

α(v1+x0)+β(v2+x0)+(1−α−β)x0∈C\alpha(v_1 + x_0) + \beta(v_2 + x_0) + (1 - \alpha - \beta)x_0 \in C

왜냐하면 좌항 계수의 합이 α+β+(1−α−β)=1\alpha + \beta + (1 - \alpha - \beta) = 1 이기 때문이다. 또한,

αv1+βv2+x0=α(v1+x0)+β(v2+x0)+(1−α−β)x0\alpha v_1 + \beta v_2 + x_0 = \alpha(v_1 + x_0) + \beta(v_2 + x_0) + (1 - \alpha - \beta)x_0

이므로 αv1+βv2+x0∈C\alpha v_1 + \beta v_2 + x_0 \in C 이다. 따라서 αv1+βv2∈V\alpha v_1 + \beta v_2 \in V 가 되어서 VV 는 sum과 scalar multiplication에 닫혀있는 subspace임을 알 수 있다.